1.- Don Toño habitante de la ciudad de Ixtlan del Rio a criado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas, pero esto le está ocasionando una serie de problemas por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa, sus ahorros sólo le alcanza para comprar 50 metros lineales de material para cercarlo si el terreno donde desea construir el gallinero es de 20x40m.
Perímetro = 2b + 2a 50 = 2a + 2b
50 - 2b = 2a
(50 – 2b) / 2 = a
Area = a * b A = [ (50 – 2b) / 2 ] * b
A = (50b / 2) – (2b^2 / 2)
A = 25b - b^2
2.- A´ = 25 – 2b
3.- 0 = 25 – 2b
4.- 2b = 25
b = 25 / 2
b = 12.5m
[50 – 2 (12.5)] /2 = a
(50 - 25) / 2 = a
25/2 = a
12.5m = a
La Llantera
2.- En un lote baldío de 50mts x 100m una compañía llantera requiere colocar la barda a un terreno rectangular (2m de altura $1350 m^2) de superficie dejando sin barda uno de los lados porque será utilizado como entrada, el terreno de la llantera tiene que tener 550m^2.
Perímetro = 2b + a 550 = a * b
Área = a * b 550/b = a
Perímetro = 2b + (550/b)
2.- P´= 2 – (550 / b^2)
3.- 0 = 2 – (550 / b^2)
4.- (-550) / (-2) = b^2
275 = b^2
16.58m = b
550 / 16.58m = a
33.17m = a
La Jaula del León
3.- Se desea construir una jaula para encerrar un león para ello solo se desea cercar 3 lados, ya que utilizara la barda pendiente del zoológico como 4to. Lado, si el material disponible para el cerco son de 30m lineales haya las dimensiones del área rectangular.
Perímetro = 2b + a 30 = a + 2b
30 – 2b = a
Área = a * b A = b * (30 - 2b)
A = 30b – 2b^2
2.- A´ = 30 – 4b
3.- 0 = 30 – 4b
4.- 4b = 30
b = 30/4
b = 7.5
30 – 2 (7.5) = a
30 – 15 = a
15 = a
El Corral Del Granjero
4.- Es un granjero que quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a la altura del rectángulo el granjero dispone 240m lineales para el cerco incluyendo la valla. Encuentren las dimensiones del corral de área máxima.
Perímetro = 2b + 3a 240 = 2b + 3a
240 – 3a = 2b
(240 – 3a) / 2 = b
Área = b * a A = [ (240 – 3a) / 2 ] * a
A = (240a / 2) – (3a^2 / 2)
A = 120a - 1.5y^2
2.- A´ = 120 – 3a
3.- 0 = 120 – 3a
4.- 3a = 120
a = 120 / 3
a = 40
[240 – 3 (40)] / 2 = b
[240 - 120] / 2 = b
120 / 2 = b
b = 60
Una Lata Sin Tapa
5.- Una fábrica desea construir latas de forma cilíndrica y sin tapa. Para embasar su producto. Encuentra las dimensiones para que la lata resulte lo más económico posible, es decir para que el área de hojalata empleando en cada bote sea mínima, sabiendo que el volumen de cada lata será de 1 decímetro.
Radio = x
Altura = y
V = Pi * r^2 * h
A = (2 * Pi * r * h) + (Pi * r^2)
1000 = Pi * x^2 * y
1000 / (Pi * x^2) = y
A = (2 * Pi * x * [1000 / (Pi * x^2)]) + (Pi * x^2)
A = 2000/x + Pi x^2
A = 2000 x-1 + Pi x^2
A´= -2000 x^-2 + 3.1416(2x)
3.- 0 = -2000 x^-2 + 3.1416(2x)
4.- 0 = -2000/x^2 + 6.2532x
0= - 2000/ x^2 + 6.2532 x
2000 = 6.2532 x (x^2)
2000= 6.2532 x^3
2000= 248.05 x
248.05x= 2000
x= 2000/248.05
x= 8.0628
1000/ Pi (8.0628)^2
1000/ Pi (65.0087)
1000/ 204.23
y= 4.8964
La Caja
Un fabricante desea hacer cajas sin tapas para envasar su producto para eso hará uso de piezas rectangulares de cartón de 50x30cm que encuentre un modelo de caja que nos de mayor volumen posible.
V= abc
V= (50-2x) (30-2x) x
V = (1500 – 100x – 60x + 4x^2) x
V= (1500x – 100 x^2 – 60 x^2 + 4x^3)
V= 1500x – 160x^2 + 4x^3
V´= 1500 – 320x + 12 x^2
3.- 0 = 1500 – 320x + 12 x^2
Diseño De Una Lata De Refresco
La empresa coca-cola desea construir las latas para su refresco de 350ml. El costo del aluminio ya terminado es de 1 centavo. Encuentra las dimensiones para que la lata nos resulte lo más económico posible.
r = x r = 350 cm^3
h = y r = Pi r^2
A = 2 Pi rh + 2 Pi r^2
350 = Pi x^2y
350/ Pi x^2 = y
A = 2 Pi x(350/ Pi x^2) + 2Pi x^2
A = 700 / x + 2 Pi x^2
A´ = -700/ x^2 + 12.5664 x
700 = 12.5664 x(x^2)
700 = 12.5664 x^3
700 = 37.6992 x
37.6992x = 700
X= 700 / 37.6992
X= 18.56
350 / Pi x^2 = y
350 / Pi (18.56)^2 = y
350 / Pi (344.47) = y
350 / 1082.19 = y
0.3234 = y
